lunedì 2 dicembre 2019

GEOMETRIA DELL'ACCRESCIMENTO DELLE CONCHIGLIE

Vi segnalo questo interessantissimo articolo inerente alla geometria dell'accrescimento delle conchiglie, che potrete approfondire con un click sul link:


Forme di alcune conchiglie di gasteropodi 
simulate al computer 


Schematicamente potremmo osservare che in tutti i casi la conchiglia svolge una funzione di scudo e sostegno delle parti molli anche se i comportamenti delle diverse classi di molluschi sono piuttosto differenziate. Vi sono essenzialmente due tipologie: gusci univalvi e gusci bivalvi. Consideriamo le classi del sottotipo dei molluschi conchiferi:
Gasteropodi, che sono erbivori o carnivori, necessitano di un guscio portatile che permetta loro spostamenti agevoli in cerca di cibo.
I Gasteropodi presentano la classica conchiglia univalve con avvolgimento più o meno marcato (vedi fig 1).

Bivalvi sono filtratori stanziali che vivono in ambienti fangosi e si proteggono dai predatori infossandosi velocemente nel fango grazie alla forma a cuneo della conchiglia composta di due parti (valve) incernierate. La conchiglia bivalve inoltre consente una migliore protezione delle parti molli del corpo dall'azione abrasiva dei granelli di sabbia.
Cefalopodi sono predatori che trovano nella velocità di spostamento un'essenziale arma di sopravvivenza hanno per lo più perso la conchiglia esterna conservandone in alcuni casi residui interni con funzioni portanti come per le seppie o i calamari o come organi che favoriscono l'equilibrio idrostatico come per la Spirula. Vi sono delle eccezioni come quella del Nautilus che produce una bellissima conchiglia esterna con funzione di stabilizzatore idrostatico o come l'Argonauta che produce tra i tentacoli una delicata struttura esterna, temporanea che utilizza come ovopositore.
Ingegnere o bricoleur?

La rassegna delle diverse funzioni assegnate alla conchiglia dalle diverse specie di molluschi ci fa pensare a quanto detto da Jacob nel suo Evoluzione e bricolage. Egli osserva che, dal punto di vista di un progettista umano, la natura sembra adottare a volte un approccio da ingegnere che concepisce strutture razionalmente pensate per rispondere alle richieste anche estreme dell'ecosistema in cui dovranno operare. Ma più spesso la natura sembra agire come farebbe un appassionato di bricolage che si trova a dover riadattare per nuove necessità strutture nate per tutt'altri scopi.

Nel caso delle conchiglie potremmo forse dire che i rifugi portatili sembrano pensati dall'ingegnere mentre il bricoleur li ha riadattati a ovopositori, scheletri interni o addirittura paratie di galleggiamento simili a quelle di un sommergibile.



Nell'immagine a sinistra vediamo una spirale logaritmica su cui è indicato l'angolo a costante tra radiale e tangente che la caratterizza. A destra abbiamo la stessa spirale segmentata in quadrilateri. Immaginando che un ipotetico mollusco abiti nel corso della sua crescita via via il settore più grande, possiamo comprendere come questa strategia abitativa gli consenta di crescere in un guscio rigido senza cambiare forma. Questa strategia nota come crescita isometrica è consentita unicamente da forme strutturate, nel piano e nello spazio, sulla spirale logaritmica.

Osservazioni e rilievi morfologici
Le conchiglie di quasi tutti i molluschi, inclusi i bivalvi, sono caratterizzate da un disegno elegante e simmetrico basato su un cono avvolto a spirale lungo un asse.
Da Thompson prendiamo queste osservazioni:
1) crescita per addizione: le conchiglie accrescono le loro dimensioni aggiungendo nuovo materiale a quello preesistente. Pertanto la forma che vediamo conserva e contiene in sé anche tutti gli stadi di crescita precedenti. Ogni conchiglia adulta conserva al suo apice la protoconca da cui ha avuto origine.

2) crescita isometrica: le conchiglie nella loro crescita conservano sempre la medesima forma. Se prendiamo due conchiglie della stessa specie di età diverse ci accorgiamo che le due forme sono l'una l'ingrandimento dell'altra. Questa caratteristica - nota come crescita isometrica - consente al mollusco di aumentare le proprie dimensioni mantenendo immutate le proporzioni tra le parti del corpo contenuto nella conchiglia.
È noto sin dal 1638 che la forma a spirale di queste conchiglie possiede la proprietà dell'autosomiglianza durante la crescita (vedi crescita isometrica). Questa proprietà implica che la proiezione di qualsiasi spirale generatrice su un piano ortogonale all'asse di simmetria (in realtà come verrà spiegato successivamente è un asse di rototraslazione) produce una curva studiata per la prima volta da Cartesio e da lui definita spirale equiangolare o logaritmica.

Analisi geometrica
Rendiamo più precise le considerazioni sinora svolte citando da Cortie una definizione geometrica dei caratteri morfologici del guscio di una conchiglia. Senza addentrarci nei dettagli del suo modello matematico a 16 variabili ci limiteremo alla sua efficace descrizione dei caratteri fondamentali .
Per semplicità immaginiamo la superficie della conchiglia come il risultato della rotazione di una figura piana (una curva direttrice che rappresenta la forma dell'apertura da cui il mollusco fuoriesce) attorno ad un asse  secondo le seguenti modalità:


1) Consideriamo un piano di riferimento che contiene l'asse di rotazione; la figura direttrice (che immaginiamo piana) può appartenere a tale piano oppure formare con questo un angolo sempre costante.

2) La direttrice, nel corso della rotazione, aumenta in modo costante le proprie dimensioni lineari mantenendo invariate quelle angolari. Ad ogni giro successivo la figura cresce in modo uniforme cioè il tasso di accrescimento della direttrice è costante. Anche la distanza tra la direttrice e l'asse di rotazione si incrementa secondo il tasso di crescita appena citato.
3) La figura nel corso della rotazione, può compiere contestualmente un movimento traslatorio lungo l'asse. Il vettore che descrive l'eventuale traslazione è direttamente proporzionale al tasso di accrescimento della direttrice.

Il rispetto di queste condizioni produce un solido (che da ora in avanti chiameremo guscio ) avente come direttrice la forma dell'apertura e come generatrici delle elicospirali che proiettate su di un piano ortogonale all'asse producono, come già accennato, spirali logaritmiche o equiangolari.
A questo punto l'insegnante di matematica  che ha già introdotto la misura in radianti degli angoli e la rappresentazione dei punti attraverso le coordinate polari  completa l'indagine introducendo la descrizione e l'equazione della spirale (sia archimedea sia logaritmica).
Dalle descrizioni precedenti prende spunto il nostro lavoro. Le affermazioni appena citate implicano un principio che sarà il cardine della nostra ricerca:
La forma complessa dell'elicospirale può essere suddivisa in parti elementari tra loro simili che indicheremo come moduli .
pertanto:
variando la forma del modulo si modifica la forma dell'elicospirale.
Questa considerazione implica l'assunzione di un approccio di tipo locale. Come avviene in alcuni ambiti della scienza della complessità, noi descriveremo la forma globale solo occupandoci delle relazioni di un modulo con i suoi adiacenti.
Per chiarire questo tipo di approccio ci sembra opportuno partire dallo studio di una situazione più accessibile in termini intuitivi di quella tridimensionale. 

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